FANDOM


Definiţie. Fie M, N două varietăţi diferenţiabile şi $ p \in M. \! $ Spunem că o aplicație $ f: M \rightarrow N \! $ este diferenţiabilă în punctul p dacă există o hartă[1] $ (U, \varphi) \! $ pe M cu $ p \in U \! $ şi o hartă[2] $ (V, \psi) \! $ pe N cu $ f(p) \in V \! $ şi $ f(U) \subset V \! $ astfel încât aplicaţia $ f_{\varphi \psi}: \varphi(U) \rightarrow \psi (V), \! $ definită prin $ f_{\varphi \psi} = \psi \circ f \circ \varphi^{-1} \! $ să fie diferenţiabilă în sens Fréchet.

Se observă că atât domeniul cât şi codomeniul aplicaţiei $ f_{\varphi \psi} \! $ sunt mulţimi deschise din spaţii euclidiene, deci noţiunea de diferenţiabilitate în sens Fréchet este bine definită pentru această aplicaţie.


Observaţii

a) Hărţile $ (U, \varphi) \! $ şi $ (V, \psi) \! $ care îndeplinesc condiţiile din definiţia de mai sus se numesc hărţi adaptate aplicaţiei f în jurul punctului p, respectiv $ f(p), \! $ iar aplicaţia $ f_{\varphi \psi} \! $ se numeşte reprezentarea locală a lui f în cele două hărţi adaptate considerate.

b) Aplicaţia $ f_{\varphi \psi} \! $ este diferenţiabilă dacă şi numai dacă sunt diferenţiabile funcţiile $ p_i \circ f_{\varphi \psi} : \varphi(U) \rightarrow \mathbb R, \! $ unde $ p_i: \mathbb R^i \rightarrow \mathbb R, \; i= 1, \cdots , m \! $ sunt proiecţiile canonice $ (m = dim \; M). \! $

Aplicatie diferentiabila 1 Aplicatie diferentiabila 2 Aplicatie diferentiabila 3


Note Edit

  1. Vom spune despre această hartă că este în jurul lui p.
  2. Vom spune despre această hartă că este o hartă în jurul lui $ f(p). \! $

Resurse Edit