FANDOM


Şiruri de vectori liberi Edit

Definiţia 1. Se numeşte şir de vectori liberi o aplicație a mulţimii numerelor naturale $ \mathbb N \! $ în mulţimea vectorilor liberi $ V_3 \! $:

$ n \in \mathbb N \longrightarrow \vec a_n \in V_3 \! $   (1)

O astfel de aplicaţie va fi notată succint în forma $ \{\vec a_n \}_{n \in \mathbb N}. \! $

Fie $ B^0 = \{ \vec e_1^0, \vec e_2^0, \vec e_3^0 \}. \! $ Are loc scrierea:

$ \vec a_n = a_{1n} \vec e_1^0 + a_{2n} \vec e_2^0 + a_{3n} \vec e_3^0 , \; a_{1n}, a_{2n}, a_{3n} \in \mathbb R, \; n \in \mathbb N \! $   (2)

unde $ \{a_{1n} \}_{n \in \mathbb N}, \{a_{2n} \}_{n \in \mathbb N}, \{a_{3n} \}_{n \in \mathbb N} , \! $ sunt trei șiruri de numere reale.

Prin urmare, odată fixată o bază în $ V_3, \! $ a da un şir de vectori liberi este echivalent cu a preciza trei şiruri de numere reale.


Date fiind două şiruri de vectori liberi $ \{\vec a_n \} _{n \in \mathbb N} \! $ şi $ \{\vec b_n \} _{n \in \mathbb N}, \! $ se defineşte şirul $ \{\vec s_n \} _{n \in \mathbb N}, \! $ numit suma celor două şiruri, prin:

$ \vec s_n = \vec a_n + \vec b_n , \; n \in \mathbb N. \! $   (3)


Definiţia 2. Şirul de vectori liberi $ \{ \vec a_n \}_{n \in \mathbb N} \! $ se numeşte convergent către vectorul liber $ \vec a \in V_3 \! $ şi notăm aceasta prin $ \lim_{n \to \infty} \vec a_n = \vec a \! $ dacă:

$ \forall \varepsilon >0 \; \Rightarrow \; \exists N \in \mathbb N \! $ astfel încât:
$ |\vec a_n - \vec a|< \varepsilon, \; \forall n>N. \! $   (4)


Observaţie.

Limita unui sir de vectori

În viziune "hodografică" şirul $ \{\vec a_n \}_{n \in \mathbb N} \! $ este convergent către vectorul $ \vec a \! $ dacă extremităţile reprezentanţilor vectorilor $ \vec a_n \! $ în polul $ O \in E_3 \! $ se găsesc în interiorul sferei de rază $ \varepsilon >0 \! $ cu centrul în extremitatea reprezentantului în O al vectorului $ \vec a, \! $ cu excepţia unui număr finit de termeni ai şirului, oricare ar fi $ \varepsilon >0. \! $

Numărul natural N din definiţia 2 depinde de numărul pozitiv $ \varepsilon >0, \; N=N(\varepsilon). \! $


Folosind definiţia 2 şi proprietăţile modulului unui vector liber se demonstrează următoarele teoreme:


Teorema 1.

Resurse Edit