Fie U un spațiu liniar real. Spunem că aplicaţia defineşte o normă pe U dacă satisface următoarele proprietăţi (sau axiome):
şi dacă şi numai dacă
Axioma se numeşte inegalitatea triunghiului iar elementele lui U se mai numesc vectori.
Spaţiul liniar U, dotat cu norma se numeşte spațiu normat.
Spunem că aplicaţia defineşte un produs scalar pe U dacă satisface axiomele:
şi dacă şi numai dacă
O consecinţă imediată a proprietăţii este inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz:
Este uşor de constatat că orice spațiu liniar dotat cu un produs scalar este spațiu normat prin norma dată de:
În acest caz, inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz se mai scrie sub forma:
Prin intermediul normei, putem introduce pe U noţiunea de convergență. Spunem că șirul este convergent dacă există un element astfel încât:
În acest caz, se mai notează ( converge la u) sau
Spunem că şirul este șir Cauchy dacă pentru orice număr real există un număr natural astfel încât:
Evident că orice şir convergent este șir Cauchy, reciproca acestei afirmaţii nefiind în general adevărată. Dacă, însă, în spațiul normat U orice şir Cauchy este şir convergent, atunci spaţiul U se numeşte spațiu Banach sau complet în raport cu norma dată.
Dacă spaţiul vectorial U este dotat cu un produs scalar iar faţă de norma indusă este complet, el se mai numeşte spațiu Hilbert.
Prin urmare orice spațiu Hilbert este spațiu Banach. Într-un spaţiu Hilbert se verifică cu uşurinţă identitatea:
cunoscută sub numele de identitatea paralelogramului.
- se numeşte bilă deschisă centrată în şi de rază
Spunem că mulţimea A a spaţiului normat U este deschisă dacă pentru orice punct există o bilă deschisă centrată în a şi inclusă în A. Mulţimea A se numeşte închisă dacă complementara sa este deschisă. Închiderea unei mulţimi se poate caracteriza şi cu ajutorul șirurilor.
Adăugând la A mulţimea limitelor şirurilor convergente din A se obţine o mulţime închisă numită închiderea lui A. Se mai notează cu Mulţimea A a spaţiului normat U se numeşte relativ compactă dacă orice şir de elemente din A are subşiruri convergente. Mulţimea A se numeşte compactă dacă este relativ compactă şi închisă. Spunem că mulţimea A este mărginită dacă există un număr real M astfel că
Submulţimea A a spaţiului U se numeşte densă în U dacă Spaţiul normat U se numeşte separabil dacă conţine o submulţime A care este densă în U.
Funcţionale şi operatori liniari pe spaţii normate[]
Dacă U şi V sunt două spaţii normate, cu normele (respectiv ), spunem că aplicaţia este operator liniar dacă:
Dacă în plus există un număr real M astfel ca:
- (1)
spunem că operatorul liniar T este mărginit.
În continuare vom folosi pentru ambele norme, din U şi V, aceeaşi notaţie. În cazul în care este pericol de confuzie, vom ataşa la semnul de normă un indice.
Noţiunea de mărginire a operatorilor liniari este strâns legată de continuitate. Mai exact, se demonstrează faptul că un operator liniar între două spaţii normate este continuu dacă şi numai dacă este mărginit.
Cea mai mică constantă M pentru care are loc (1) se numeşte norma lui T şi se notează Prin urmare:
şi avem:
Se verifică uşor că această "normă" (numită şi normă operatorială) definită pe mulţimea operatorilor liniari şi continui de la U la V satisface proprietăţile În acest fel mulţimea operatorilor liniari şi continui de la U la V, notată devine un spațiu normat. Dacă V este, în plus, un spațiu Banach atunci rezultă că şi d dotat cu norma operatorială este spațiu Banach. O clasă specială de operatori liniari o formează funcţionarele liniare care sunt aplicaţii liniare definite pe spaţii liniare cu valori reale.
Mulţimea funcţionalelor liniare şi continue definite pe U cu valori în (deci ) se mai notează cu şi se numeşte dualul spaţiului U. O problemă interesantă este cea a determinării formei funcţionalelor liniare continue pe un spaţiu normat. Prezentăm aici cazul spaţiilor Hilbert.
Teorema 1.
(Teorema lui Riesz de reprezentare)
(Vezi articolul: Teorema de reprezentare a lui Riesz)
Fie H un spațiu Hilbert şi f o funcţională liniară şi continuă pe H. Atunci există un element unic astfel încât:
Mai mult,
Dacă U este un spațiu normat iar este dualul său ca spațiu Banach, atunci dualul lui se notează şi se numeşte bidualul lui U.
Fie un element fixat şi aplicaţia dată prin Se verifică uşor că este o funcţională liniară şi continuă pe şi deci este element al lui Notăm cu mulţimea elementelor din de această formă. Se arată imediat că aplicaţia dată prin este izomorfism de spaţii normate numit şi izomorfismul natural.
Spaţiul normat U se numeşte reflexiv dacă U şi sunt izomorfe prin izomorfismul natural. Cu ajutorul dualităţii dintre U şi introducem noţiunea de convergenţă slabă. Spunem că șirul este slab convergent la dacă pentru orice avem Se mai notează
Dacă U şi V sunt două spaţii normate iar spunen că T este operator compact dacă imaginea prin T a oricărei mulţimi mărginite din U este o mulţime relativ compactă din V. Având în vedere caracterizarea mulţimilor relativ compacte cu ajutorul şirurilor, rezultă:
Propoziţia 1.
Condiţia necesară şi suficientă pentru ca T să fie compact, este ca pentru orice şir marginit din U, şirul să aibă subşiruri convergente.
Este folosită, de asemenea, următoarea definiţie (echivalentă) a compacităţii unui operator.
Operatorul liniar este compact dacă este slab-tare continuu, cu alte cuvinte dacă implică pentru
Prin operaţia adjunctă lui T, sat adjunctul lui T (ca operator) se înţelege operaţia definită prin:
unde este dat de:
Dacă atunci rezultă imediat că şi
Dacă (spațiu Hilbert) spunem că T este operator autoadjunct în dacă
Resurse[]
- Culegere de probleme de analiză funcțională
- Curs (p. 65) (copie la Wikia)