FANDOM


Funcţii complexe de variabilă complexă Edit

Prin funcţie complexă se înţelege orice funcţie cu valori complexe.

Definiţia 1.11. Spunem că funcţia reală de variabilă reală

$ f: (a, b) \rightarrow \mathbb R \! $

este derivabilă în punctul $ t_0 \in (a, b) \! $ dacă există şi este finită limita

$ f'(t_0) = \lim_{t \to t_0} \frac {f(t) - f(t_0)}{t - t_0} \! $

numită derivata funcţiei f în punctul $ t_0 .\! $

Observaţia 1.8. Definiţia anterioară nu poate fi extinsă la funcţiile de două variabile

$ f : D \subseteq \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \! $

deoarece relaţia

$ f'(x_0, y_0) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \frac {f(x, y) - f(x_0, y_0)}{(x, y) - (x_0, y_0)}. \! $

este fără sens, împărţirea cu vectorul $ (x - x_0, y-y_0) = (x, y) - (x_0, y_0) \! $ nefiind definită. Posibilitatea împărţirii cu un număr complex nenul permite însă definirea derivabilităţii unei funcţii de variabilă complexă urmând analogia cu cazul real.

Definiţia 1.12. Fie $ D \subseteq \mathbb C \! $ o mulţime deschisă. Spunem că funcţia complexă

$ f: D \rightarrow \mathbb C \! $

este $ \mathbb C \! $-derivabilă (sau olomorfă) în punctul $ z_0 \in D \! $ dacă există şi este finită limita:

$ f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac {f(z) - f(z_0)}{z-z_0} \! $

numită derivata funcţiei f în punctul $ z_0 \! $. În loc de $ f'(z_0) \! $ scriem uneori $ \frac {df}{dz}(z_0). \! $

Exemplul 1.4.

a) Funcţia

$ f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, \; f(z) = z^3 \! $

este $ \mathbb C\! $-derivabilă în orice punct $ z_0 \in \mathbb C \! $

$ f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac {z^3 - z^3_0}{z - z_0} = \lim_{z \to z_0} (z^2 + z_0 z + z_0^2) = 3 z_0^2. \! $

şi $ f'(z) = 3 z^2, \! $ adică avem

$ (z^3)' = 3 z^2. \! $

b) Funcţia

$ f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, \; f(z) = \overline z \! $

nu este $ \mathbb C \! $-derivabilă în $ z_0 = 1 \! $ deoarece limita

$ \lim_{z \to 1} \frac {\overline z - 1}{z- 1} \! $

nu există. Alegând şirul $ z_n = \frac {n}{n+1} \! $ cu $ \lim_{n \to \infty} z_n =1 \! $ obţinem

$ \lim_{n \to \infty} \frac {\overline z_n - 1}{z_n - 1} = 1 \! $

dar alegând şirul $ z_n= 1+ \frac {1}{n+1} i \! $ cu $ \lim_{n \to \infty} = 1, \! $ obţinem:

$ \lim_{n \to \infty} \frac {\overline z_n - 1}{z_n - 1} =- 1 .\! $

Surse Edit


În alte limbi
* English