Fandom

Math Wiki

Analiză complexă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Funcţii complexe de variabilă complexă Edit

Prin funcţie complexă se înţelege orice funcţie cu valori complexe.

Definiţia 1.11. Spunem că funcţia reală de variabilă reală

f: (a, b) \rightarrow \mathbb R \!

este derivabilă în punctul t_0 \in (a, b) \! dacă există şi este finită limita

f'(t_0) = \lim_{t \to t_0} \frac {f(t) - f(t_0)}{t - t_0} \!

numită derivata funcţiei f în punctul t_0 .\!

Observaţia 1.8. Definiţia anterioară nu poate fi extinsă la funcţiile de două variabile

f : D \subseteq \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \!

deoarece relaţia

f'(x_0, y_0) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \frac {f(x, y) - f(x_0, y_0)}{(x, y) - (x_0, y_0)}. \!

este fără sens, împărţirea cu vectorul  (x - x_0, y-y_0) = (x, y) - (x_0, y_0) \! nefiind definită. Posibilitatea împărţirii cu un număr complex nenul permite însă definirea derivabilităţii unei funcţii de variabilă complexă urmând analogia cu cazul real.

Definiţia 1.12. Fie D \subseteq \mathbb C \! o mulţime deschisă. Spunem că funcţia complexă

f: D \rightarrow \mathbb C \!

este \mathbb C \!-derivabilă (sau olomorfă) în punctul z_0 \in D \! dacă există şi este finită limita:

f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac {f(z) - f(z_0)}{z-z_0} \!

numită derivata funcţiei f în punctul z_0 \!. În loc de f'(z_0) \! scriem uneori \frac {df}{dz}(z_0). \!

Exemplul 1.4.

a) Funcţia

f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, \; f(z) = z^3 \!

este \mathbb C\!-derivabilă în orice punct z_0 \in \mathbb C \!

f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac {z^3 - z^3_0}{z - z_0} = \lim_{z \to z_0} (z^2 + z_0 z + z_0^2) = 3 z_0^2. \!

şi f'(z) = 3 z^2, \! adică avem

(z^3)' = 3 z^2. \!

b) Funcţia

f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C, \; f(z) = \overline z \!

nu este \mathbb C \!-derivabilă în z_0 = 1 \! deoarece limita

\lim_{z \to 1} \frac {\overline z - 1}{z- 1} \!

nu există. Alegând şirul z_n = \frac {n}{n+1} \! cu \lim_{n \to \infty} z_n =1 \! obţinem

\lim_{n \to \infty} \frac {\overline z_n - 1}{z_n - 1} = 1 \!

dar alegând şirul z_n= 1+ \frac {1}{n+1} i \! cu \lim_{n \to \infty} = 1, \! obţinem:

\lim_{n \to \infty} \frac {\overline z_n - 1}{z_n - 1} =- 1 .\!

Surse Edit


În alte limbi
* English

Also on Fandom

Random Wiki