Fandom

Math Wiki

Șir

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Notiuni introductive despre siruri.png

Şiruri de numere reale Edit

DEFINIŢIE. O funcţie definită pe mulţimea numerelor naturale \mathbb N = \{ 1, 2, 3, \cdots , n, \cdots \} \! şi cu valori în mulţimea \mathbb R^1 \! a numerelor reale se numeşte şir de numere reale.

COMENTARIU: Valoarea funcţiei, care defineşte şirul de numere reale, în 1 se notează cu a_1, \! valoarea în 2 se notează cu a_2, \cdots ,\! valoarea în n cu a_n, \cdots .\!

Tradiţional a_1 \! se numeşte primul termen al şirului, a_2 \! cel de-al doilea termen al şirului, \cdots , a_n \! cel de-al n-lea termen al şirului sau termenul general.

Şirul a_a, a_2, \cdots , a_n, \cdots \! se notează tradiţional cu (a_n). \! Pentru a defini un şir trebuie să definim toţi termenii şirului. Altfel spus trebuie dată o regulă care permite determinarea fiecărui termen al şirului.


Şirul (a_n)_{n \in \mathbb N^*} \! este convergent către a (finit) dacă oricare ra fi vecinătatea V(a), \! acesta lasă în afară ei doar un număr finit de termeni ai şirului.

Şirul (a_n)_{n \in \mathbb N^*} \! este convergent către a (finit) dacă pentru orice \varepsilon >0, \! există un număr natural N_{\varepsilon} \! astfel încât oricare are fi n \ge N_{\varepsilon} \! avem: |a_n-a| < \varepsilon. \!

Sir de numere reale 1.png Sir de numere reale 2.png Sir de numere reale 3.png Sir de numere reale 4.png Sir de numere reale 5.png Sir de numere reale 6.png




Siruri de numere reale 1.png Siruri de numere reale 2.png Siruri de numere reale 3.png Siruri de numere reale 4.png Siruri de numere reale 5.png

EXEMPLE:


a_n = q^{n-1}, \; q \neq 0; \; \; a_1=1, \; a_2=q; \; a_3=q^2; \; \cdots \; a_n=q^{n-1}, \; \; \cdots \!


a_n=\frac 1 n; \;\; a_1=1; \; a_2=\frac 1 2; \; a_3=\frac 1 3; \; \cdots \; a_n=\frac 1 n; \; \cdots \!


a_n=\frac {1 + (-1)^n}{2}; \; \; a_1=0; \; a_2=1; \; a_3=0; \; \cdots \; a_n=\frac {1 + (-1)^n}{2}; \; \cdots \!

DEFINIŢIA 2. Şirul (a_n) \! este crescător dacă pentru orice n \in \mathbb N \! are loc inegalitatea a_n \le a_{n+1}. \!

DEFINIŢIA 3. Şirul (a_n) \! este descrescător dacă pentru orice n \in \mathbb N \! are loc inegalitatea a_n \ge a_{n+1}. \!

DEFINIŢIA 4. Un şir (a_n) \! este monoton dacă este crescător sau este descrescător.

EXEMPLU. Dacă q>1 \! atunci şirul a_n=q^n \! este crescător, iar dacă q \in (0, 1) \! atunci şirul a_n=q^n \! este descrescător. Dacă q \in (0, \infty) \! şi q \neq 1 \! atunci şirul a_n=q^n \! este monoton.

DEFINIŢIA 5. Un şir (a_n) \! este mărginit dacă există un număr M>0 \! astfel încât pentru orice n \in \mathbb N \! are loc inegalitatea |a_n| \le M. \!

Dacă q \in (0, 1) \! atunci şirul a_n=q^n \! este mărginit (|a_n| <1 ).\! Şirul a_n= (-1)^n \! este mărginit ((|a_n| \le 1 ) \!).

Dacă q>1 \! atunci şirul a_n = q^n \! este nemărginit.

DEFINIŢIA 6. Un şir (a_n) \! este nemărginit dacă nu este mărginit. Altfel spus, pentru orice M>0 \! există n_M \in \mathbb N \! asfel încât |a_{n_M}| > M. \!

Dacă q>1 \! atunci şirul a_n = q^n \! este nemărginit.

DEFINIŢIA 7. Un subşir al şirului (a_n) \! este un şir de forma (a_{n_k}) \! unde (n_k) = n_1, n_2, \cdots \; \! este un şir strict crescător de numere naturale.

OBSERVAŢII:

  • Orice subşir al unui şir crescător este şir crescător.
  • Orice subşir al uni şir descrescător este şir descrescător.
  • Orice subşir al unui şir mărginit este şir mărginit.

Convergenţa şirurilor de numere reale Edit

(Detalii la articolul Limită a unui şir)

Siruri reale 1.png Siruri reale 2.png Siruri reale 3.png Siruri reale 4.png Siruri reale 5.png Siruri reale 6.png Siruri reale 7.png Siruri reale 8.png


Vezi și Edit


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki