FANDOM


Notiuni introductive despre siruri

Şiruri de numere reale Edit

DEFINIŢIE. O funcţie definită pe mulţimea numerelor naturale $ \mathbb N = \{ 1, 2, 3, \cdots , n, \cdots \} \! $ şi cu valori în mulţimea $ \mathbb R^1 \! $ a numerelor reale se numeşte şir de numere reale.

COMENTARIU: Valoarea funcţiei, care defineşte şirul de numere reale, în 1 se notează cu $ a_1, \! $ valoarea în 2 se notează cu $ a_2, \cdots ,\! $ valoarea în n cu $ a_n, \cdots .\! $

Tradiţional $ a_1 \! $ se numeşte primul termen al şirului, $ a_2 \! $ cel de-al doilea termen al şirului, $ \cdots , a_n \! $ cel de-al n-lea termen al şirului sau termenul general.

Şirul $ a_a, a_2, \cdots , a_n, \cdots \! $ se notează tradiţional cu $ (a_n). \! $ Pentru a defini un şir trebuie să definim toţi termenii şirului. Altfel spus trebuie dată o regulă care permite determinarea fiecărui termen al şirului.


Şirul $ (a_n)_{n \in \mathbb N^*} \! $ este convergent către a (finit) dacă oricare ra fi vecinătatea $ V(a), \! $ acesta lasă în afară ei doar un număr finit de termeni ai şirului.

Şirul $ (a_n)_{n \in \mathbb N^*} \! $ este convergent către a (finit) dacă pentru orice $ \varepsilon >0, \! $ există un număr natural $ N_{\varepsilon} \! $ astfel încât oricare are fi $ n \ge N_{\varepsilon} \! $ avem: $ |a_n-a| < \varepsilon. \! $

Sir de numere reale 1 Sir de numere reale 2 Sir de numere reale 3 Sir de numere reale 4 Sir de numere reale 5 Sir de numere reale 6




Siruri de numere reale 1 Siruri de numere reale 2 Siruri de numere reale 3 Siruri de numere reale 4 Siruri de numere reale 5

EXEMPLE:


$ a_n = q^{n-1}, \; q \neq 0; \; \; a_1=1, \; a_2=q; \; a_3=q^2; \; \cdots \; a_n=q^{n-1}, \; \; \cdots \! $


$ a_n=\frac 1 n; \;\; a_1=1; \; a_2=\frac 1 2; \; a_3=\frac 1 3; \; \cdots \; a_n=\frac 1 n; \; \cdots \! $


$ a_n=\frac {1 + (-1)^n}{2}; \; \; a_1=0; \; a_2=1; \; a_3=0; \; \cdots \; a_n=\frac {1 + (-1)^n}{2}; \; \cdots \! $

DEFINIŢIA 2. Şirul $ (a_n) \! $ este crescător dacă pentru orice $ n \in \mathbb N \! $ are loc inegalitatea $ a_n \le a_{n+1}. \! $

DEFINIŢIA 3. Şirul $ (a_n) \! $ este descrescător dacă pentru orice $ n \in \mathbb N \! $ are loc inegalitatea $ a_n \ge a_{n+1}. \! $

DEFINIŢIA 4. Un şir $ (a_n) \! $ este monoton dacă este crescător sau este descrescător.

EXEMPLU. Dacă $ q>1 \! $ atunci şirul $ a_n=q^n \! $ este crescător, iar dacă $ q \in (0, 1) \! $ atunci şirul $ a_n=q^n \! $ este descrescător. Dacă $ q \in (0, \infty) \! $ şi $ q \neq 1 \! $ atunci şirul $ a_n=q^n \! $ este monoton.

DEFINIŢIA 5. Un şir $ (a_n) \! $ este mărginit dacă există un număr $ M>0 \! $ astfel încât pentru orice $ n \in \mathbb N \! $ are loc inegalitatea $ |a_n| \le M. \! $

Dacă $ q \in (0, 1) \! $ atunci şirul $ a_n=q^n \! $ este mărginit $ (|a_n| <1 ).\! $ Şirul $ a_n= (-1)^n \! $ este mărginit ($ (|a_n| \le 1 ) \! $).

Dacă $ q>1 \! $ atunci şirul $ a_n = q^n \! $ este nemărginit.

DEFINIŢIA 6. Un şir $ (a_n) \! $ este nemărginit dacă nu este mărginit. Altfel spus, pentru orice $ M>0 \! $ există $ n_M \in \mathbb N \! $ asfel încât $ |a_{n_M}| > M. \! $

Dacă $ q>1 \! $ atunci şirul $ a_n = q^n \! $ este nemărginit.

DEFINIŢIA 7. Un subşir al şirului $ (a_n) \! $ este un şir de forma $ (a_{n_k}) \! $ unde $ (n_k) = n_1, n_2, \cdots \; \! $ este un şir strict crescător de numere naturale.

OBSERVAŢII:

  • Orice subşir al unui şir crescător este şir crescător.
  • Orice subşir al uni şir descrescător este şir descrescător.
  • Orice subşir al unui şir mărginit este şir mărginit.

Convergenţa şirurilor de numere reale Edit

(Detalii la articolul Limită a unui şir)

Siruri reale 1 Siruri reale 2 Siruri reale 3 Siruri reale 4 Siruri reale 5 Siruri reale 6 Siruri reale 7 Siruri reale 8


Vezi și Edit


Resurse Edit