Tratat de calcul vectorial/Spațiul euclidian/Matrice, determinanți

1.3. Matrice, determinanți şi produs vectorial La secţiunea 1.2 s-a definit produsul scalar a doi vectori. În această secţiune se defineşte un alt tip de produs a doi vectori, dar al cărui rezultat va fi un vector, nu un scalar. Astfel, dându-se vectorii $\mathbf a, \mathbf b,$ se va defini produsul lor vectorial, notat $\mathbf a \times \mathbf b.$ Această noţiune se va baza pe conceptele de matrice, determinant, care vor fi studiate în prealabil. Matrice 2x2 Se va defini o matrice $2 \times 2$ ca fiind un "tablou" de numere reale $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ Determinantul acestei matrici, notat $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix},$ care este un număr real definit prin: $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} .$ $(1)$ Matrice 3x3 O matrice $3 \times 3$ este un aranjament de numere reale $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix},$ unde $a_{ij}$ este elementul aflat pe linia $i$ şi coloana $j.$ Determinantul matricei de tip $3 \times 3$ este definit prin: $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.$ $(2)$ Proprietăţile determinanţilor O proprietate importantă a determinanţilor constă în faptul că prin inversarea între ele a două linii sau coloane, semnul acestora se schimbă. Pentru linii avem: $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12} = - (a_{21} a_{12} - a_{11} a_{22}) = -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{11} & a_{12}, \end{vmatrix}$ iar pentru coloane: $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = -(a_{12} a_{21} - a_{11} a_{22}) = - \begin{vmatrix} a_{12} & a_{11} \\ a_{22} & a_{21}. \end{vmatrix}$ În mod similar se demonstrează pentru matricele $3 \times 3.$ O altă proprietate importantă constă în faptul că se poate da factor comun un număr real (scalar) pentru orice linie sau coloană. Pentru determinanţii $2 \times 2$ aceasta înseamnă: $\begin{vmatrix} \alpha a_{11} & a_{12} \\ \alpha a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \alpha a_{12} \\ a_{21} & \alpha a_{22} \end{vmatrix} = \alpha \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \alpha a_{11} & \alpha a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ \alpha a_{21} & \alpha a_{22} \end{vmatrix}.$ La fel pentru determinanţii $3 \times 3:$ $\begin{vmatrix} \alpha a_{11} & \alpha a_{12} & \alpha a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \alpha \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \alpha a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & \alpha a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & \alpha a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ şi aşa mai departe. În particular, dacă o linie sau o coloană conţine numai zero, atunci valoarea determinantului este nulă. O a treia proprietate a determinanţilor este următoarea: Dacă la o linie (sau coloană) adăugăm o altă linie (sau coloană), valoarea determinantului nu se schimbă. Astfel, pentru cazul $2 \times 2:$ $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1+b_1 & a_2+b_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1+a_1 & b_2+a_2 \end{vmatrix}=$ $= \begin{vmatrix} a_1+a_2 & a_2 \\ b_1+b_2 & b_2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_1 & a_1+a_2 \\ b_1 & b_1+b_2 \end{vmatrix}.$ Pentru cazul $3 \times 3:$ $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1+b_1 & a_2+b_2 & a_3+ b_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_1+a_2 & a_2 & a_3 \\ b_1+b_2 & b_2 & b_3 \\ c_1+c_2 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$ şi aşa mai departe. Exemplu. Presupunem că $\mathbf a = \alpha \mathbf b + \beta \mathbf c$ adică $\mathbf a= (a_1, a_2, a_3) = \alpha (b_1, b_2, b_3) + \beta (c_1, c_2, c_3).$ Să se arate că: $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}=0.$ Soluţie. Cazul $\alpha = \beta = 0$ este trivial. Acum se presupune $\alpha \neq 0, \; \beta \neq 0.$ Utilizând proprietăţile fundamentale ale determinanţilor, avem: $\begin{vmatrix} \alpha b_1 + \beta c_1 & \alpha b_2 + \beta c_2 & \alpha b_3 + \beta c_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = - \frac {1}{\alpha} \begin{vmatrix} \alpha b_1 + \beta c_1 & \alpha b_2 + \beta c_2 & \alpha b_3 + \beta c_3 \\ - \alpha b_1 & - \alpha b_2 & - \alpha b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$ $= \left ( - \frac {1}{\alpha} \right ) \left ( - \frac {1}{\beta} \right ) \begin{vmatrix} \alpha b_1 + \beta c_1 & \alpha b_2 + \beta c_2 & \alpha b_3 + \beta c_3 \\ - \alpha b_1 & - \alpha b_2 & - \alpha b_3 \\ - \beta c_1 & - \beta c_2 & - \beta c_3 \end{vmatrix} = \frac {1}{\alpha \beta} \begin{vmatrix} \beta c_1 & \beta c_2 & \beta c_3 \\ - \alpha b_1 & - \alpha b_2 & - \alpha b_3 \\ - \beta c_1 & - \beta c_2 & - \beta c_3 \end{vmatrix} =$ $=\frac {1}{\alpha \beta} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ - \alpha b_1 & - \alpha b_2 & - \alpha b_3 \\ - \beta c_1 & - \beta c_2 & - \beta c_3 \end{vmatrix} =0.$ Legat de aceste proprietăţi este şi faptul că putem dezvolta un determinant $3 \times 3$ după o linie sau coloană utilizând semnele dispuse astfel: ${\begin{vmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{vmatrix}}.$ De exemplu, în cazul dezvoltării după linia a doua: ${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=-a_{21}{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}&\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{22}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{23}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}.$ Istoric Determinanţii au fost inventaţi şi utilizaţi pentru prima dată de către Leibniz în 1693. Proprietăţile acestora au fost descoperite apoi de Maclaurin şi Cramer între 1729 şi 1750. Aceştia au demonstrat că soluţia sistemului de ecuaţii: $\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 = b_2 \\ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 = b_3 \end{cases}$ este: $x_1 = \frac {1}{\Delta} \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, x_2 = \frac {1}{\Delta} \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{vmatrix} x_3 = \frac {1}{\Delta} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{vmatrix}$ unde $\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix},$ cunoscută ca regula lui Cramer Ulterior, Vandermonde (1772) şi Cauchy (1812) au tratat teoria determinanţilor ca domeniu de sine stătător, la care s-au adăugat contribuţiile lui Laplace, Jacobi şi alţii. Formula pentru volumul paralelipipedului cu ajutorul determinanţilor a fost elaborată de Lagrange (1775). Produsul vectorial Definiţia produsului vectorial. Fie $\mathbf a= a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k, \; \mathbf b= b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k$ vectori din $\mathbb{R}^3.$ Produsul vectorial dintre $\mathbf a, \mathbf b,$ notat $\mathbf a \times \mathbf b,$ este vectorul: $\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} ,$ sau simbolic: $\mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.$ Exemplu. Să se calculeze: $(3\mathbf {i} -\mathbf {j} +\mathbf {k} )\times (\mathbf {i} +2\mathbf {j} -\mathbf {k} ).$ Soluţie. $(3 \mathbf i - \mathbf j + \mathbf k ) \times ( \mathbf i + 2 \mathbf j - \mathbf k ) = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\3 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = - \mathbf i + 4 \mathbf j + 7 \mathbf k.$ Anumite proprietăţi ale produsului vectorial provin chiar din definiţia acestuia. Astfel, dacă $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ sunt vectori, iar $\alpha, \beta, \gamma$ sunt scalari, atunci: (i) $\mathbf a \times \mathbf b = - (\mathbf b \times \mathbf a)$ (ii) $\mathbf a \times (\beta \mathbf b + \gamma \mathbf c) = \beta (\mathbf a \times \mathbf b) + \gamma (\mathbf a \times \mathbf c)$ şi $(\alpha \mathbf a + \beta \mathbf b) \times \mathbf c = \alpha (\mathbf a \times \mathbf c) + \beta (\mathbf b \times \mathbf c).$ De remarcat faptul că rezultă şi $\mathbf a \times \mathbf a = - (\mathbf a \times \mathbf a),$ de unde $\mathbf a \times \mathbf a = 0, \; \forall \mathbf a \in \mathbb R^3.$ În particular: $\mathbf i \times \mathbf i=0 , \; \mathbf j \times \mathbf j = 0 , \; \mathbf k \times \mathbf k=0 .$ De asemenea: $\mathbf i \times \mathbf j = \mathbf k, \; \mathbf j \times \mathbf k = \mathbf i , \; \mathbf k \times \mathbf i= \mathbf j.$ Reţinem mai uşor aceste formule cu ajutorul diagramei: Pentru a da o interpretarea geometrică a produsului vectorial vom introduce dublul produs vectorial. Dându-se trei vectori $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c \in \mathbb R^3,$ numărul real: $( \mathbf a \times \mathbf ) \cdot \mathbf c$ este numit dublul produs vectorial al lui $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ (în ordinea indicată). Pentru a obţine formula acestuia, fie: $\mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k,$ $\mathbf b = b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k,$ $\mathbf c = c_1 \mathbf i + c_2 \mathbf j + c_3 \mathbf k.$ Atunci: $( \mathbf a \times \mathbf b) \cdot \mathbf c = \left ( \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \mathbf i - \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} \mathbf j + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \mathbf k \right ) \cdot (c_1 \mathbf i + c_2 \mathbf j + c_3 \mathbf k) =$ $= \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} c_1 - \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} c_2 \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} c_3.$ Aceasta este devoltarea după minorii rândului al treilea al unui determinant deci: $( \mathbf a \times \mathbf b) \cdot \mathbf c = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.$ Dacă $\mathbf c$ este un vector din planul determinat de vectorii $\mathbf a, \mathbf b,$ atunci al treilea rând al determinantului expresiei $( \mathbf a \times \mathbf ) \cdot \mathbf c$ este o combinaţie liniară a celorlalte două rânduri şi deci $( \mathbf a \times \mathbf ) \cdot \mathbf c =0.$ Cu alte cuvinte, vectorul $\mathbf a \times \mathbf b$ este ortogonal faţă de oricare vector din planul determinat de $\mathbf a, \mathbf b,$ în particular atât faţă de $\mathbf{a}$ cât şi faţă de $\mathbf b.$ Mai departe, vom calcula lungimea vectorului $\mathbf a \times \mathbf b.$ $\| \mathbf a \times \mathbf b \|^2 = \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}^2 - \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix}^2+ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}^2=$ $=(a_2 b_3 - a_3 b_2 )^2 +(a_1 b_3 - b_1 a_3)^2 +(a_1 b_2 - b_1 a_2 )^2 .$ Ultimul termen mai poate fi scris: $(a_1^2+ a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) - (a_1b_1 + a_2 b_2 + a_3b_3)^2.$ Deci $\| \mathbf a \|^2 \| \mathbf b \|^2 - (\mathbf a \cdot \mathbf b)^2 = \| \mathbf a \|^2 \| \mathbf b \|^2 - \| \mathbf a \|^2 \| \mathbf b \|^2 \cos^2 \theta = \| \mathbf a \|^2 \| \mathbf b \|^2 \sin^2 \theta,$ unde $\theta$ este unghiul dintre $\mathbf{a}$ şi $\mathbf b, \; \; 0 \le \theta \le \pi.$ Rezultă $\| \mathbf a \times \mathbf b \| = \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| |\sin \theta |.$ Coroborând cele două rezultate, ajungem la concluzia că $\mathbf a \times \mathbf b$ este vector perpendicular pe planul $\mathcal{P}$ determinat de $\mathbf a, \mathbf b$ şi are lungimea $\| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \sin \theta.$ Lungimea este aria paralelogramului cu laturi alăturate $\mathbf a, \mathbf b.$ Sunt doar doi vectori care satisfac aceste condiţii şi aceasta deoarece dreapta perpendiculară (normală) pe planul $\mathcal{P}$ are două sensuri. Notăm cei doi vectori $n_1, n_2.$ Avem $\mathbf n_2 = - \mathbf n_1.$ Cei doi vectori sunt perpendiculari pe planul paralelogramului şi au modulul $\| \mathbf n_1 \| = \| \mathbf n_2 \| = \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| |\sin \theta .|$ Se pune problema: care dintre vectorii $\mathbf n_1, \mathbf n_2$ este $\mathbf a \times \mathbf b ?$ Ecuaţia $\mathbf k = \mathbf i \times \mathbf j$ ne conduce la regula mâinii drepte: Se aşază mâna dreaptă astfel încât degetul index să arate rotirea lui $\mathbf{a}$ spre $\mathbf b;$ atunci degetul mare va indica sensul lui $\mathbf a \times \mathbf b.$ Produsul vectorial. Definiţie geometrică: $\mathbf a \times \mathbf b$ este un vector cu proprietăţile: (1)   $\| \mathbf a \times \mathbf b \| = \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| \sin \theta,$ aria paralelogramului format de $\mathbf a, \mathbf b$ ($\theta$ fiind unghiul dintre $\mathbf{a}$ şi $\mathbf b; \;$ $0 \leq \theta \leq \pi$) (2)   $\mathbf a \times \mathbf b$ este perpendicular pe $\mathbf{a}$ şi $\mathbf b,$ iar dublul produs vectorial $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf a \times \mathbf b$ respectă regula mâinii drepte. Formula componentelor: $(a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k ) \times (b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k ) = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}=$ $= (a_2 b_3 - a_3 b_2 ) \mathbf i - (a_1 b_3 - a_3 b_1 ) \mathbf j + (a_1 b_2 - a_2 b_1 ) \mathbf k.$ Reguli algebrice: 1.   $\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf 0$ dacă şi numai dacă $\mathbf a, \mathbf b$ sunt paraleli sau unul dintre ei este nul. 2.   $\mathbf a \times \mathbf b = - \mathbf b \times \mathbf a.$ 3.   $\mathbf a \times ( \mathbf b + \mathbf c ) = \mathbf a \times \mathbf b + \mathbf a \times \mathbf c.$ 4.   $(\mathbf a + \mathbf b) \times \mathbf c = \mathbf a \times \mathbf c + \mathbf b \times \mathbf c.$ 5.   $( \alpha \mathbf a ) \times \mathbf b = \alpha (\mathbf a \times \mathbf b).$ Tabel de multiplicare: Al doilea factor $\times$ $\mathbf{i}$ $\mathbf{j}$ $\mathbf{k}$ Primul factor $\mathbf{i}$ $\mathbf{0}$ $\mathbf{k}$ $- \mathbf j$ $\mathbf{j}$ $- \mathbf k$ $\mathbf{0}$ $\mathbf{i}$ $\mathbf{k}$ $\mathbf{j}$ $-\mathbf{i}$ $\mathbf{0}$ Modulul lui $\mathbf a \times \mathbf b$ este aria paralelogramului format din $\mathbf{a}$ şi $\mathbf b.$ Exemple. a) Determinaţia aria paralelogramului format de vectorii $\mathbf a = \mathbf i + 2 \mathbf j + 3 \mathbf k$ şi $\mathbf b= - \mathbf i - \mathbf k.$ b) Determinaţi vectorul unitate ortogonal vectorilor $\mathbf i + \mathbf j$ şi $\mathbf j + \mathbf k.$ c) Pornind de la formulele: $\| \mathbf u \times \mathbf v \| = \| \mathbf u \| \| \mathbf v \| \sin \theta$ şi $\mathbf u \cdot \mathbf v = \| \mathbf u \| \| \mathbf v \| \cos \theta$ şi eliminând $\theta,$ să se deducă o relaţie între produsul scalar şi cel vectorial. Soluţie. a) $\mathbf a \times \mathbf b = -2 \mathbf i - 2 \mathbf j + 2 \mathbf k.$ $\| \mathbf a \times \mathbf b \| = 2 \sqrt 3.$ b) Un vector perpendicular atât pe $\mathbf i + \mathbf j$ cât şi pe $\mathbf j + \mathbf k$ este produsul lor vectorial: $(\mathbf i + \mathbf j ) \times \mathbf j + \mathbf k = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf i - \mathbf j + \mathbf k.$ Deoarece $\| \mathbf i - \mathbf j + \mathbf k \| = \sqrt 3,$ vectorul căutat este: $\frac {1}{\sqrt 3} (\mathbf i - \mathbf j + \mathbf k).$ c) $\| \mathbf u \times \mathbf v \|^2 + ( \mathbf u \cdot \mathbf v)^2 = \| \mathbf u \|^2 \| \mathbf v \|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = \| \mathbf u \|^2 \| \mathbf v \|^2.$ Deci: $\| \mathbf u \times \mathbf v \|^2 = \| \mathbf u \|^2 \| \mathbf v \|^2 - ( \mathbf u \cdot \mathbf v)^2.$ Interpretarea geometrică a determinanţilor Fie $\mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j, \; \mathbf b = b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j$ doi vectori din plan. Dacă $\theta$ este unghiul dintre aceştia, atunci $\| \mathbf a \times \mathbf b \| = \| \mathbf a \| \| \mathbf b \| | \sin \theta |$ este aria paralelogramului cu $\mathbf a, \mathbf b$ laturi adiacente. Produsul vectorial ca determinant este: $\mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_1 & a_2 & 0 \\ b_1 & b_2 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \mathbf k.$ Deci aria $\mathbf a \times \mathbf b$ este valoarea absolută a determinantului: $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1.$ Interpretarea geometrică a determinanţilor de tip $2 \times 2.$ Valoarea absolută a determinantului $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}$ este aria paralelogramului ale cărui laturi adiacente sunt vectorii $\mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j, \; \; \mathbf b = b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j.$ Semnul determinantului este $+$ dacă, rotind în sens trigonometric (antiorar) vectorul $\mathbf{a}$ pentru a se suprapune peste vectorul $\mathbf b,$ este necesar un unghi mai mic decât $\pi.$ Exemplu. Determinaţi aria triunghiului cu vârfurile în punctele $(1,1), \; (0,2), \; (3,2).$ Soluţie. Fie $\mathbf a = \mathbf i + \mathbf j, \; \mathbf b = 2 \mathbf j, \; \mathbf c = 3 \mathbf i + 2 \mathbf j.$ Aria triunghiului cu vârfurile având vectorii de poziţie $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ este aceeaşi cu a triunghiului cu vârfurile date de $\mathbf 0, \mathbf b - \mathbf a, \mathbf c - \mathbf a,$ care la rândul acesteia este jumătate din aria paralelogramului cu laturile adiacente $\mathbf b- \mathbf a = - \mathbf i + \mathbf j, \; \; \mathbf c - \mathbf a = 2 \mathbf i + \mathbf j$ adică valoarea absolută a lui : $\frac 12 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}= - \frac 32$ Deci aria este 3/2. Aria triunghiului, exprimată cu ajutorul lungimii laturilor, este $A = \frac 12 \| ( \mathbf b - \mathbf a ) \times ( \mathbf c - \mathbf a ) \|.$ Există o interpretare geometrică similară şi pentru determinanţii de tip $3 \times 3:$ Interpretarea geometrică a determinanţilor de tip $3 \times 3.$ Valoarea absolută a determinantului $D= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$ este volumul paralelipipedului ale cărui laturi adiacente sunt formate de vectorii: $\mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k, \; \mathbf b = b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k, \; \mathbf c = c_1 \mathbf i + c_2 \mathbf j + c_3 \mathbf k.$ Demonstrarea afrimaţiei de mai sus se realizează ţinând cont că $\| \mathbf a \times \mathbf b \|$ este aria paralelogramului generat de $\mathbf a, \mathbf b.$ Mai departe, $(\mathbf a \times \mathbf b) \cdot \mathbf c = \| \mathbf a \times \mathbf b \| \| \mathbf c \| \cos \psi,$ unde $\psi$ este unghiul pe care $\mathbf c$ îl formează cu normala la planul generat de $\mathbf a, \mathbf b.$ Volumul paralelipipedului generat de $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ este valoarea absolută a determinantului având pe $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ ca linii. Ecuaţia planului Fie $\mathcal{P}$ un plan în spaţiu, $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ un punct al planului şi să presupunem că $\mathbf n= A \mathbf i + B \mathbf j + C \mathbf k$ este un vector normal pe plan. Punctul $P= (x,y,z) \in \mathbb R^3$ aparţine planului dacă şi numai dacă vectorul $\overrightarrow {P_0P} = (x-x_0) \mathbf i + (y-y_0) \mathbf j + (z-z_0) \mathbf k$ este perpendicular pe $\mathbf n,$ adică $\overrightarrow {P_0P} \cdot \mathbf n=0,$ ceea ce este echivalent cu: Punctul curent $P$ al planului care trece prin $P_0$ şi este perpendicular pe $\mathbf{n}$ satisface ecuaţia $\overrightarrow {P_0 P} \cdot \mathbf n = 0.$ $(A \mathbf i + B \mathbf j +C \mathbf k ) \cdot [(x-x_0) \mathbf i + (y-y_0) \mathbf j + (z-z_0) \mathbf k]=0.$ Se deduce: $A(x-x_0)+B(x-x_0)+C(z-z_0)=0.$ Ecuaţia planului. Ecuaţia planului $\mathcal{P}$ care conţine punctul $(x_0, y_0, z_0)$ şi este perpendicular pe vectorul $\mathbf n= A \mathbf i + B \mathbf j + C \mathbf k$ este: $A(x-x_0)+B(x-x_0)+C(z-z_0)=0,$ deci $(x,y,z) \in \mathcal P$ dacă şi numai dacă: $Ax+By+Cz+D=0,$ unde $D=-Ax_0-By_0-Cz_0.$ Cele patru numere, $A,B,C,D,$ nu sunt unic determinate pentru planul $\mathcal P.$ Pentru a demonstra acesta, trebuie să remarcăm faptul că $(x, y, z)$ satisfac ecuaţia $A x + B y + C z + D = 0$ dacă şi numai dacă acestea îndeplinesc şi condiţia: $(\lambda A)x + (\lambda B)y + (\lambda C)z + (\lambda D)=0$ pentru orice constantă $\lambda \neq 0.$ Mai departe, dacă $A, B, C, D$ şi $A',B',C',D'$ determină acelaşi plan $\mathcal P,$ atunci $A=\lambda A', \; B=\lambda B', \; C=\lambda C', \; D=\lambda D'$ pentru un scalar $\lambda \in \mathbb R.$ În consecinţă, $A, B, C, D$ sunt determinate de $\mathcal{P}$ până la un multiplu scalar. Exemplu. Să se determine ecuaţia planului care trece prin punctele: $(1,1,1), \; \; (2,0,0), \; \; (1,1,0).$ Soluţie. Metoda I. Ecuaţia planului are forma $Ax + By + Cz + D = 0.$ Deoarece punctele $(1,1,1), \; \; (2,0,0), \; \; (1,1,0).$ aparţin planului, avem: $\begin{cases} A+B+C & +D =0 \\ 2A & +D=0 \\ A+B & +D=0 \end{cases}$ cu soluţia $A=1, \; B=1, \; C=0, \; D=-2.$ Deci ecuaţia planului este $x+y-2=0.$ Metoda II. Fie $P= (1,1,1), \; Q= (2,0,0), \; R= (1,1,0).$ Oricc vector normal la plan este ortogonal cu vectorii $\overrightarrow {QP}, \; \overrightarrow {RP}.$ Deci $\mathbf n = \overrightarrow {QP} \times \overrightarrow {RP}$ este normal la plan. Avem: $\mathbf n= \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf i + \mathbf j.$ Deoarece punctul $(2,0,0)$ aparţine planului, ajungem la concluzia că ecuaţia este $(x-2)+ (y-0)+0 \cdot (z-0)$ adică $x+y-2=0.$ Două plane se numesc paralele dacă vectorii normali ai acestora sunt paraleli. Deci planele de ecuaţii $A_1x+B_1y+C_1z=0, \; \; A_2x+B_2y+C_2z=0$ sunt paralele când $\mathbf n_1 = A_1 \mathbf i +B_1 \mathbf j +C_1 \mathbf k, \; \; n_2 = A_2 \mathbf i +B_2 \mathbf j +C_2$ sunt paraleli, adică $\mathbf {n_1} = \sigma \mathbf {n_2}, \; \sigma \in \mathbb R.$ De exemplu, planele: $x-2y+z=0, \; \; \; -2x+4y-2z=10$ sunt paralele, dar planele: $x-2y+z=0, \; \; \; 2x-2y+z=10$ nu sunt paralele. Distanţa de la un punct la un plan Să determinăm distanţa de la punctul $E=(x_1, y_1, z_1)$ la planul $\mathcal{P}$ de ecuaţie $A(x-x_0) +B(y-y_0) + C(z-z_0)= Ax+By+Cz+D=0.$ Vom considera vectorul unitar normal la plan: $\mathbf n= \frac {A \mathbf i + B \mathbf j + C \mathbf k}{\sqrt {A^2+B^2+ C^2}},$ Se duce perpendiculara de la $E$ la plan şi se construieşte triunghiul $REQ.$ Distanţa $d= \| \overrightarrow {EQ} \|$ este lungimea proiecţiei lui $\mathbf v = \overrightarrow {RE}$ pe $\mathbf n.$ Atunci distanţa de la punctul $E$ la planul $\mathcal{P}$ este: $\delta = | \mathbf v \cdot \mathbf n | = \left | [(x_1-x_0) \mathbf i + (y_1-y_0) \mathbf j + (z_1-z_0) \mathbf k] \cdot \mathbf n \right | =$ $= \frac {\left | A(x_1-x_0) +B(y_1-y_0) + C(z_1-z_0) \right |}{\sqrt {A^2+B^2+ C^2}}.$ Determinarea distanţei de la punctul $E$ la planul $\mathcal P.$ Dacă planul este descris de ecuaţia $Ax+By+Cz+D=0,$ atunci pentru orice punct $(x_0, y_0, z_0)$ al acestuia $D=-(Ax_0+By_0+Cz_0).$ Înlocuind în formula precedentă, obţinem: Distanţa de la un punct la un plan. Distanţa de la punctul (x_1, y_1, z_1) la planul $Ax+By+Cz+D=0,$ este: $\delta = \frac {\left | Ax_1+By_1+Cz_1 +D \right |}{\sqrt {A^2+B^2+ C^2}}.$ Exerciţii 1) Verificaţi că dacă schimbăm între ele două rânduri ale determinantului $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix}$ se schimbă semnul valorii acestuia. R. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\3 & 0 & 1 \\ 2 & 0 2 \end{vmatrix}=-8, \; \; \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 2 \end{vmatrix} = 8.$ 2) Calculaţi $\mathbf a \times \mathbf b,$ unde $\mathbf a = \mathbf i - 2 \mathbf j, \; \mathbf b = 2 \mathbf i + \mathbf j + \mathbf k.$ R. $- 3 \mathbf i + \mathbf j +5 \mathbf k.$ 3) Determinaţi aria paralelogramului cu laturile $\mathbf a , \; \mathbf b,$ de la exerciţiul precedent. R. $\sqrt {35}.$ 4) Care este volumul paralelipipedului cu laturile $2 \mathbf i + \mathbf j - \mathbf k, \; 5 \mathbf i - 3 \mathbf k, \; \mathbf i - 2 \mathbf j + \mathbf k?$ R. $10.$ 5) Descrieţi toţi vectorii unitari simultan ortogonali vectorilor: (a) $\mathbf i, \; \mathbf j;$ (b) $-5 \mathbf i + 9 \mathbf j -4 \mathbf k, \; 7 \mathbf i + 8 \mathbf j + 9 \mathbf k.$ R. (a) $\pm \mathbf k.$ (b) $\pm \frac {113 \mathbf i + 17 \mathbf j + 3 \mathbf k} { \sqrt {23,667} }.$ 6) Calculaţi $\mathbf u + \mathbf v, \; \mathbf u \cdot \mathbf v, \; \| \mathbf u \|, \; \| \mathbf v \|, \; \mathbf u \times \mathbf v,$ unde $\mathbf u = \mathbf i - 2 \mathbf j + \mathbf k, \; \mathbf v = 2 \mathbf i - \mathbf j +2 \mathbf k.$ R. $\mathbf u + \mathbf v = 3 \mathbf i -3 \mathbf j + 3 \mathbf k; \; \; \mathbf u \cdot \mathbf v = 6 ; \; \; \| \mathbf u \| = \sqrt 6 ; \; \; \| \mathbf v \| = 3; \; \; \mathbf u \times \mathbf v= -3 \mathbf i + 3 \mathbf k.$ 7) Determinaţi ecuaţia planului care: (a) este perpendicular pe $\mathbf v= (1,1,1)$ şi trece prin $(1,0,0);$ (b) este perpendicular pe $\mathbf v= (1,2,3)$ şi trece prin $(1,1,1);$ (c) este perpendicular pe dreapta $\mathbf l(t)= (5,0,2)t+ (0,7,1)$ şi trece prin $(2,4,-1).$ R. (a)   $x + y +z - 1 = 0$ (b)   $x+2y+3z-6=0$ (c)   $5x+2z=25$ (d)   $x+2y-3z=13.$ 8) (a) Demonstraţi că două plane paralele fie nu se intersectează, fie sunt identice. (b) Cum se intersectează două plane care nu sunt paralele? R. (a)   Planele paralele $Ax+By+Cz+D=0, \; \; \sigma Ax+\sigma By+ \sigma Cz+D'=0$ sunt identice când $D'= \sigma D$ şi în caz contrar nu se intersectează. (b)   Într-o dreaptă. 9) Determinaţi intersecţia planelor $x+(y-1)+z=0, \; \; -x +(y+1) -z=0.$ R. Dreapta de ecuaţie $x=t, \; y=2t, \; z=-5t.$ 10) (a) Demonstraţi următoarele identităţi cu dublu produs vectorial: $(\mathbf a \times \mathbf b) \times \mathbf c = (\mathbf a \cdot \mathbf c) b- (\mathbf b \cdot \mathbf c) a, \; \; \; \mathbf a \times ( \mathbf b \times \mathbf c ) = (\mathbf a \cdot \mathbf c) b- (\mathbf a \cdot \mathbf b) c$ (b) Demonstraţi că $( \mathbf u \times \mathbf v ) \times \mathbf w = \mathbf u \times ( \mathbf v \times \mathbf w )$ dacă şi numai dacă $( \mathbf u \times \mathbf w ) \times \mathbf v=0.$ (c) Demonstraţi că: $(\mathbf u \times \mathbf v) \times \mathbf w +( \mathbf v \times \mathbf w ) \times \mathbf u +( \mathbf w \times \mathbf u ) \times \mathbf v =0,$ numită identitatea lui Jacobi. R. (a) Prima se obţine lucrând asupra coordonatelor, iar pentru a doua se utilizează $\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c) = - (\mathbf b \times \mathbf c) \times \mathbf a.$ (b) Se utilizează identităţile de la punctul (a) şi se scriu ca produse scalare. (c) Se utilizează identităţile de la punctul (a) şi se adună termenii. 11) Verificaţi regula lui Cramer. R. Se calculează rezultatele conform regulii lui Cramer şi se verifică faptul că acestea satisfac ecuaţia. 12) Determinaţi o ecuaţie a planului care trece prin punctul $(1,2,-3)$ şi este perpendicular pe dreapta $\mathbf v= (0,2,-1) + t (1,-2,3).$ R. $x-2y+3z+12=0.$ 13) Determinaţi o ecuaţie a planului care conţine liniile paralele: $\mathbf v_1 = (0,1,-2) + t (2,3,-1), \quad \mathbf v_2 = (2,-1,0) + t (2,3,-1).$ R. $4x-6y-10z=14.$ 14) Determinaţi o ecuaţie a planului care conţine dreapta $\mathbf v= (-1,1,2) + t (2,3,4)$ şi este perpendicular pe planul $2x+y-3z+4=0.$ R. $10x-17y+z+25=0.$ 15) Determinaţi intersecţia perechilor de plane de mai jos utilizând proprietăţile produsului scalar: (a) $x + (y-1) + z=0, \qquad -x +(y+1)-z=0;$ (b) $3(x-1) +2y + (z+1)=0.$ R. (a) Se remarcă faptul că $(2,-3,1) \cdot (1,1,1) =0,$ astfel că dreapta şi planul sunt paralele, iar $(2,-2,-1)$ nu aparţine planului. (b) Dreapta este paralelă cu planul, iar $(1,-1,2)$ aparţine planului. 16) Determinaţi distanţa de la planul $12 x+13 y+ 5z+2=0$ la punctul $(1,1-5).$ R. $\frac {\sqrt 2}{13}.$ 17) (a) În mecanică, momentul $\mathcal{M}$ al unei forţe $\mathbf F$ în raport cu un pol $O$ este definit ca fiind modul vectorului forţă înmulţit cu distanţa $d$ de la $O$ la dreapta suport a vectorului forţă. Vectorul $\mathcal{M}$ este perpendicular pe planul determinat de $\mathbf F$ şi $O,$ iar sensul este dat de regula mâinii drepte. Momentul forţei Demonstraţi că $\mathcal M= \mathbf r \times \mathbf F,$ unde $\mathbf{r}$ este vectorul care uneşte $O$ cu un punct arbitrar de pe direcţia forţei $\mathbf F.$ (b) Determinaţi momentul forţei $\mathbf F= \mathbf i - \mathbf j + 2 \mathbf k \; (N)$ în raport cu originea axelor dacă dreapta suport a forţei are ecuaţiile parametrice $x= 1+t, \; y=1-t, \; z=2t.$ R. (a) Se demonstrează că $\mathcal{M}$ satisface proprietăţile geometrice ale lui $\mathbf R \times \mathbf F.$ (b) $2 \sqrt 3.$ 18) Demonstraţi că planul care trece prin punctele $A=(a_1, a_2, a_3), \; B=(b_1, b_2, b_3), \; C=(c_1, c_2, c_3),$ este format din punctele $P=(x,y,z)$ date de: $\begin{vmatrix} a_1-x & a_2 -y & a_3-z \\ b_1-x & b_2 -y & b_3-z \\ c_1-x & c_2 -y & c_3-z \end{vmatrix}$ R. Se scrie determinantul ca produs dublu vectorial. 19) Două medii cu indicii de refracţie $n_1, n_2$ sunt separate printr-o suprafaţă plană perpendiculară pe vectorul unitar $\mathbf N.$ Fie $\mathbf a, \mathbf b$ vectorii unitate orientaţi de-a lungul razei incidentă, respectiv refractată şi având sensul razelor. Să se demonstreze că $n_1 (\mathbf N \times \mathbf a) = n_2 (\mathbf N \times \mathbf b),$ utilizând legea lui Snell $\frac {\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac {n_2}{n_1},$ unde $\theta_1, \theta_2$ sunt unghiurile de refracţie, respectiv de incidenţă. Legea lui Snell R. Arătaţi că $n_1 (\mathbf N \times \mathbf a), \; \; n_2 (\mathbf N \times \mathbf b)$ au acelaşi modul şi direcţie. 20) Demonstraţi că, dacă la o linie (sau coloană) a unui determinant se adaugă multiplul altei linii (respectiv coloane), valoarea acestuia este aceeaşi, adică de exemplu: $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+ \lambda a_1 & b_2 + \lambda b_1 & c_2 + \lambda c_1 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ R. O metodă constă în scrierea tuturor termenilor din membrul drept şi observarea faptului că toţi cei care conţin $\lambda$ dau zero. O altă metodă constă în remarcarea faptului că determinantul este liniar în fiecare rând sau coloană şi că, dacă un rând sau coloană se repetă, rezultatul este nul. Atunci: $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+ \lambda a_1 & b_2+ \lambda b_1 & c_2+ \lambda c_1 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \lambda \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3. \end{vmatrix}$